在 19 世纪， 数学在根柢层面上发生了更正. 在它变得更潜入、更广泛的同期， 对数学知悉智商的要求也越来越高. 并且， 数学催生了一种工作. 大学和时刻研究所无数裸露， 需要大要拔擢高档课题的职员. 数学造就， 也曾是莫得经济保证的工作采纳， 此时则成了铁饭碗.

数学的研究越来越聚焦于精准的界说和严格的阐明. 欧拉期骗自由的作风仍是让位于柯西的概述分析. 微积分演变为咱们今天所称的分析学科. 结合这个世纪的一条分析干线， 是围绕傅里叶级数伸开的万般问题.

本章将探究这方面的一些结果， 以黎曼对积分的界说与斟酌使命为首先， 以对实数实质的惊东说念主知悉为激越. 这只不外是一个苟简的体验， 让你试吃一下微积分在这个变革的世纪中发生了什么.

开首 | 《微积分溯源：伟大想想的历程》

作家 | [好意思] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud）

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆

摘自 | 《分析》一章

1

黎曼积分

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann， 1826—1866) 曾受教于卡尔·弗里德里希·高斯和古斯塔夫·狄利克雷， 也许是 19 世纪最有本事的数学家， 他完全改良了几何学与分析学， 并且只用一篇著述就奠定了素数定理的阐明基础. 这一使命标明， 复平面上的微积分不错用来阐明， 不跳跃 的素数个数渐近等于 . 1854 年， 为取得在德国大学担任造就的经历 (Habilitation)， 黎曼需要提交一篇更高档的论文， 他采纳了建立纵情一个函数不错伸开成傅里叶级数的充要条款.

所成的论文《用三角级数来暗意函数》以对这个问题的历史综述开动. 黎曼接下来建立了一个函数可积的充要条款. 要津在于， 对于纵情预先指定的上界 ， 变差大于 的场所必须要在一些区间之内， 通盘这些区间的长度之和不错纵情小.

为了说得更了了， 咱们需要界说函数在一丝的变差(振幅). 沟通 在通盘包含 的开区间上的变差. 在点 的变差 ， 界说为 在通盘包含 的开区间上的变差的下确界. 终点是， 当且仅当 在点 连气儿. 函数 在 可积的一个充要条款是， 对纵情的 与 ， 变差大于等于 的点麇集在总长度小于 的一些区间内.

这个定理的阐明不错通过将定积分界说为

的极限而变得更通俗， 其中 是区间 中的纵情一丝. 正如咱们在 4.6 节先容的， 当且仅当咱们不错规则各个区间的最大长度， 使得以下和式

与 0 纵情接近时， 定积分存在. 连气儿函数是可积的， 因为咱们不错在每个区间上将变差 规则得迷漫小. 不外， 咱们也不错使得上述和式迷漫小， 只消咱们大要将那些变差相比大的子区间的长度总数规则住.

举例， 只在一个点不连气儿的有界函数是可积的. 尽管包含这个点的区间上的变差不可能小于该点的变差， 但咱们不错将区间的长度考取得迷漫小， 使得它对式 (5.1) 的孝顺迷漫小.

固然黎曼对定积分的界说很顽劣， 但对他的本意来说是圆善的， 即建立函数可积的充要条款.

黎曼立即构造了一个函数， 它在包含它的每一个纵情小的区间内都是不连气儿的， 但它仍然是可积的. 他的函数是

其中 是 减去离 最近的整数， 在例外的情况中， 即当 为半整数时， 离它最近的整数有两个， 此时界说 等于 0. 举例， . 固然这个函数在每个区间上都有一个不连气儿点， 但对每个 ， 只存在有限多个点， 其变差跳跃 . 这个函数的图像在图 5.1 中给出.

黎曼对定积分的临了一个孝顺， 是引入了瑕积分的认识. 他指出， 有可能通过取极限的款式来界说一个无界函数的积分. 手脚例子， 等于 2， 这是因为

固然 在 上不可积， 但它的瑕积分存在.

图 5.1　黎曼的在每个区间上都有不连气儿点的可积函数:

2

微积分基本定理的反例

只消咱们只沟通连气儿函数， 微积分基本定理就成立. 但要是咱们沟通的是具有无限多个不连气儿点的函数， 就不成再假设手脚黎曼和极限的积分与手脚原函数的积分是等价的. 这么一个例子来自式 (5.2) 所给出的黎曼函数.

有些函数本人是导函数， 但不一定是连气儿的. 一个秩序的例子是不连气儿导数 (discontinuous derivative)， 我将称之为 函数， 界说如下 (图 5.2):

图 5.2　当 时， ; 当 时，

当 时， 的导数是 . 当 时， 需要用到导数的极结果义来盘算推算:

在 处不连气儿， 因为

不存在.

正如加斯东·达布 (Gaston Darboux， 1842—1917) 在 19 世纪 70 年代所阐明的， 每个导函数一定具有介值性质.也就是说， 若 是某个函数的导函数， 则对纵情的 ， 以及介于 和 之间的纵情的 ， 一定存在某个 ， 使得 . 式 (5.3) 所界说的函数 具有一个在 处不连气儿的导函数， 不外 仍然具有介值性质: 每个包含 的开区间也包含使得 取值为 的点， 以及取值为 之间纵情一个值的点 (图 5.3).

图 5.3　当 时， ; 当 时，

从达布的结果不错推出， 式 (5.2) 所给出的黎曼可积函数不可能是一个导函数. 要是咱们界说

则 在 的纵情不连气儿点都不可导. 内的每个开区间都包含无限多个 的值， 使得 在 处不可导， 恰是因为被界说为积分的函数并不一定就可导.

在另一个标的又怎样呢？要是已知函数 是另一个函数 的导数， 是否总不错对 积分？严格说来， 不存在不错手脚黎曼和极限的无界函数. 由此不错推出， 的导数在职何包含 的区间上不可积. 不外这还不够令东说念主信服， 因为瑕积分的确存在. 这个问题的一个更强的版块如下: 要是已知函数 在区间 上每一丝可导， 并且其导数 在该区间上有界， 是否不错推出 在该区间上可积？换言之， 若在区间 上 存在且有界， 是否总有

令东说念主讶异的是， 复兴是“否”. 原因是定积分有可能不存在. 这个结果是由意大利数学家维托·沃尔泰拉 (Vito Volterra， 1860—1940) 在 20 岁时给出的， 在一年以后， 即 1881 年发表. 这种函数的一个反例的先容与解释可见 [10]， pp. 89-94.

固然有这些令东说念主不安的发现， 对于黎曼积分的简直问题倒不在于微分与积分并非老是互逆的进程， 而是在于结果标明， 黎曼积分 —— 其界说用于澄莹一个不连气儿函数何时可积 —— 不太适合用来阐明对于积分的其他结果. 终点是 19 世纪晚期的一个热切问题: 描摹那些不错逐项积分的级数. 这对傅里叶级数以偏抓他源于求解偏微分方程的级数来说尤为热切.

一个不可逐项积分的级数的例子如下:

其部分和是 (图 5.4)

图 5.4　 的图像， (实线)， (长虚线)， (短虚线)

跟着 的增大， 的驼峰越来越向右特出. 对 中的每个 跟着 的增大而趋近于 0. 因此，

这个级数的积分等于 0，

而 下方区域的面积是 ， 当 趋于无限时， 它趋于 1:

在这个例子中， 无限和的积分并不等于积分的无限和.

亨利·勒贝格 (Henri Lebesgue， 1875—1941) 在其 1901 年的博士论文中， 提倡了一个不同的积分， 这不错排斥与黎曼积分斟酌联的很多艰巨. 他莫得分割函数的界说域， 而是采纳差别值域.

在图 5.5 中， 值域被差别为高度等于 1 的各个区间. 所记号的区间， 是那些取值在 1 和 2 之间的点. 咱们用 ， 即 的揣测， 来暗意通盘这些区间的长度之和. 更一般的是， 是那些函数值介于 和 之间的区间长度之和. (咱们将在 5.4 节看到纵情一个麇集的揣测的界说.) 对于 在 上的积分， 咱们让每个揣测 乘以对应函数值下界 而得到一个下界， 让每个揣测 乘以对应函数值上界 而得到一个上界:

图 5.5　勒贝格的水平差别

要是咱们考取一个更缜密的差别， 比如 ， 且 ， 其中 取遍通盘的整数， 并令 是满足 的 组成的麇集， 则定积分有上、下界如下:

当且仅当不错考取充分小的 ， 使得上式两头的上和与下和纵情接近时， 函数 的勒贝格积分存在. 上和与下和的差正巧是

因为 是有限的， 是以要是 在区间上的上界与下界都是有限的， 那么不错考取充分小的 ， 使得这个差纵情小. 在这种情况下， 勒贝格积分的上界与下界趋向于消除个极限.

值得指出的是， 勒贝格的形状不错处理在一个标的无界 (即无上界或无下界) 的函数， 而不消借助于瑕积分. 要是积分的下极限趋于 ， 那么定积分的值就界说为 . 要是积分的下极限趋于某有限值， 则上极限必定趋于消除个值， 从而定积分具有一个有限值. 此外， 要是咱们允许 是无限多个区间的并集， 则沃尔泰拉的函数不再组成微积分基本定理的反例. 利用勒贝格积分， 它的导数仍然是可积的. 不外最热切的在于， 勒贝格大大简化了决定一个级数何时不错逐项积分的问题. 今天， 大多数数学家在使用勒贝格积分， 不论是以隐含的款式， 照旧以明确的款式.

为使用勒贝格积分， 咱们需要对纵情的有界实数集 界说其揣测 ， 而这意味着咱们需要意会实数的子集的可能结构， 结果标明， 这个挑战远远超出了 19 世纪上半叶数学家不错想见的难度. 对此， 咱们将在本章临了一节 (5.4 节) 探究.

不外， 即即是勒贝格积分也并不是绰有余裕的. 要是咱们沟通函数

它具有界说精良的导数，

但在职何一个包含 0 的区间上， 这个导数既莫得上界也莫得下界， 它的勒贝格积分不存在， 尽管其瑕黎曼积分如实存在. 在 1912 年与 20 世纪 60 年代之间， 好几位数学家创造了克服这个问题的等价的积分界说， 平时被称为亨斯托克 (Henstock) 积分.

这里所传递出的信息在于， 积分的通盘课题远比咱们在一元微积分里学到的复杂. 然则， 学生必须要懂得函数既不错手脚微分的逆运算， 也不错手脚乞降的极限进程. 微积分基本定理正巧斟酌了积分的这两个不雅点， 并且微积分的诸多威力恰好依赖于这一斟酌.

3

魏尔施特拉斯和椭圆函数

在指摘 19 世纪的分析学发展时， 必定要提到卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass， 1815—1897， 图 5.6)， 他被贝尔 (Bell) 誉为“分析学之父”. 咱们 (在 3.3 节) 早就碰到过他了， 他成立了欧拉对于正弦函数的无限乘积的合感性. 自 1856 年起， 魏尔施特拉斯开动担任柏林大学的数学造就， 他在那处造就周期为两年的分析学， 培养了 19 世纪晚期的很多数学家， 包括索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅 (Sofia Kovalevskaya， 1850—1891)， 首位在欧洲的大学领罕有学造就席位的女数学家. 对一致连气儿性与一致护士性的当代意会， 主邀功归于魏尔施特拉斯. 他阐明了， 要是一个级数一致护士， 那么它就不错逐项积分，

魏尔施特拉斯赓续在课堂上慷慨地共享其数学创见， 并允许学生细化并发表.

图 5.6　卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯

第一个无处可微的连气儿函数的例子就是这种情形. 1872 年， 魏尔施特拉斯在课堂上给出了这个例子. 三年后， 他的学生保罗·杜波依斯-雷蒙德将它发表了. 对于魏尔施特拉斯的诸多孝顺的一个极好的先容可见于威廉·邓纳姆 (William Dunham) 的《微积分的历程》(The Calculus Gallery).

魏尔施特拉斯的得胜之路并非一帆风顺. 他父亲对他的盼愿是在普鲁士政府谋得一个管理职位. 为此， 他把魏尔施特拉斯送到大学学习法律、金融和经济. 因为父亲不允许他追求数学， 魏尔施特拉斯非常黯然， 他忽略了通盘课程， 连期末安谧也懒得答理. 大学求知一年后， 他干预明斯特大学， 野心成为别称高中数学矫健. 1841 年， 刚好快到他 26 岁诞辰时， 他终于毕业了， 并得到了第一份教职.

行运的是， 魏尔施特拉斯在明斯特大学的矫健有克里斯托夫·古德曼 (Christoph Gudermann， 1798—1852)， 他是其时少有的椭圆函数与阿贝尔函数方面的群众之一. 魏尔施特拉斯的最大孝顺就在于对这类函数的研究， 缺憾的是， 只灰心少数数学本科专科课程会先容这类函数. 在业余时候， 他探究这类函数的好意思妙， 偶尔发表几篇著述， 但很少受到关心. 直到 1854 年， 他发表了《对于阿贝尔函数的表面》( “Zur Theorie der Abelschen Functionen” )， 这项使命是如斯热切， 以至于哥尼斯堡大学授予他荣誉博士学位， 柏林大学则聘用他为数学造就.

为盘考魏尔施特拉斯所取得的成立， 咱们需要复平面的微积分常识， 因此这超出了咱们在这些篇幅里不错解释的范畴. 然则， 由于椭圆函数非常热切， 在目下最慷慨东说念主心的数学 (从费马大定理的阐明一直到当代物理中的弦论) 中占有中心位置， 因此值得指出它们是怎样界说的， 以及为什么如斯热切. 椭圆函数的名字源于一个也曾困扰牛顿的问题: 求出椭圆的一段弧长. 正如在 2.6 节所提到的， 东说念主们在 1659 年就仍是知说念了弧长公式

一朝知说念行星的畅通轨说念是椭圆， 当然就引出了求椭圆弧长的问题. 要是咱们沟通中心在原点的上半椭圆 (其中 )， 或

其导数是

从 0 到 的弧长为

其中， .

问题源于被积函数分母中的四次多项式的平方根. 在消除时期， 东说念主们还发现了其他肖似的积分， 其中最著明的一个是， 细目单摆何时沿着其摆弧到达某给定点的积分.这些积分 (分子是一个多项式， 分母是一个三次或四次多项式的平方根) 其后被称为椭圆积分. 分母是一个五次以上多项式的平方根的积分被称为阿贝尔积分， 源于阿贝尔对它们的研究.

1797 年， 高斯发表了对这些积分的第一个简直视力， 聚焦于最通俗的情形 (这个函数的图像见图 5.7):

高斯牢固到， 可积分的肖似函数 (其分母是一个二次多项式的平方根的函数) 是更常见的函数的反函数，

其中， 是双曲正弦函数， 而 是它的反函数. 第一个视力是， 与其沟通由椭圆积分界说的函数， 不如关心其反函数.椭圆函数 就界说为 的反函数.

第二个视力源于这么的意志: 椭圆函数只消界说在复平面 上本事展现其真君子性. 固然正弦函数与双曲正弦函数手脚实数轴上的函数看起来非常不同， 但要是在复平面上覆按它们， 相反就消散了. 多亏了欧拉公式， 即 3.3 节的式 (3.9)， 咱们有

手脚复平面到自身的一个映射， 双曲正弦函数只不外是将正弦的自变量与因变量都旋转了 . 终点是， 在复平面上， 它们都是周期函数. 正弦函数有实周期: . 双曲正弦有纯虚周期:

图 5.7　 在 上的图像

椭圆函数具有两个周期. 复平面上的两个线性无关的向量可界说一个平行四边形， 它不错用来产生一个格 (图 5.8). 正如正弦函数在通盘实数轴上的值由它在 上的值独一细目， 一个椭圆函数在通盘复平面上的值也由它在这个平行四边形上的值独一细目. 事实上， 正弦函数与双曲正弦函数只不外是椭圆函数的顶点情况， 两个周期之一被拉伸为无限大.

图 5.8　一个具有周期 1 和 的椭圆函数的周期格

椭圆函数的优好意思与威力源于它们之间的有条有理的恒等式与干系. 三角函数等式只不外是椭圆函数天下的纷纭表象的惨白投影. 对椭圆函数的直观， 莫得一个东说念主能胜过印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金 (Srinivasa Ramanujan， 1887—1920)， 他致使经历了两次大学辍学. 手脚马德拉斯 (Madras) 的一个职员， 他有契机到马德拉斯大学的数学藏书楼学习， 他在那处学到了椭圆函数， 并开动我方探索这片沃土. 他的发现在其短暂的一世中得到了招供， 他成为英国皇家学会最年青的会员之一， 并且是印度第二个享有此荣誉的东说念主. 由于东说念主们其后发现， 源于椭圆函数的对称遍及大当然， 因此拉马努金的结果对当代物理来说变得非常根柢.14今天称为金奈 (Chennai).

4

实数的子集

格奥尔格·康托尔以他在麇集论和实数系缚构方面的使命著称， 不外他是从一个对于傅里叶级数的问题开动作念研究的. 康托尔曾在柏林大学奴才库默尔 (Kummer) 和魏尔施特拉斯研习数论. 在赢得担任大学造就职位的经历后， 他的第一份使命是在哈雷-维滕贝格大学任教， 在那处， 爱德华·海涅说服他研究傅里叶级数中存在的问题. 康托尔很快全力惩处了具有无限多个不连气儿点的函数的傅里叶级数伸开. 这使他意志到， 实数的通盘无限子集并非都不错相比大小.

事实上， 正如数学界迟缓意志到的， 对实数的有界无限子集的大小， 存在三种不同的面孔款式: 粘稠性、基数和揣测.

粘稠性是其中最陈腐的， 并且在 19 世纪中世前就仍是得到了很好的意会. 要是每一个与 相交的开区间都包含 的子集 中的至少一个点， 则称 在 中粘稠. 事实上， 你一朝知说念每个开区间都包含 中至少一丝， 就不难知说念， 每个开区间包含 中无限多个点. 上的一个粘稠子集的经典例子是该区间上的一起有理数. 很多更小的子集， 比如分母为 2 的幂的有理数， 亦然粘稠的.

另一个顶点， 是所谓的无处粘稠的子集. 要是 的每个开子区间都包含着一个子区间， 它跟 不相交， 则麇集 在 中无处粘稠. 任何有限子集都是无处粘稠的， 麇集 在 中亦然无处粘稠的. 的每个开子区间 都包含一丝 ， 它不是某整数的倒数， 因此它介于 与 之间 ( 为正整数). 与 的交就是 的一个子区间， 它不包含任何形如 的数.

恰是康托尔在 1873 年发现 (并于次年发表) 了无限麇集的基数的热切性.两个麇集具有相易的基数， 当且仅当它们之间存在逐一双应的干系. 在这个意旨下， 区间上的有理数集不跳跃正整数集. 从 和 启程， 咱们不错将有理数线性排序: 取有理数的节约局面， 要是 或 ， 而 ， 则 排在 之前. 中的一起有理数不错与正整数造成逐一双应的干系， 如下所示.

有限集或不错与正整数集造成逐一双应干系的麇集都称为可数的. 有理数集是可数的. 这也许不及为怪. 那么究竟是否只消一种无限呢？康托尔 1874 年的论文标明， 存在更大的无限. 终点是， 区间上的一起实数无法与正整数集组成逐一双应的干系. 这个事实的秩序阐明有赖于实数的无限少许暗意是人所共知的.邓纳姆对康托尔的原始阐明给出了优好意思的阐明， 这个阐明径直建立在实数的完备性基础上.要是一个麇集不是可数的， 就称为不可数. 区间上的实数集不可数.

咱们在 5.2 节遭逢了面孔一个麇集大小的第三种款式， 称为揣测. 勒贝格用三条准则来界说它:

(1) 区间的揣测是其长度， 单点集的揣测是 0， 对于有限多个或可数无限多个有揣测界说的麇集的无交并， 其揣测是各个子麇集的揣测之和;

(2) 对一个麇集作念平移 (即每个元素加上消除个数) 不会更正其揣测;

(3) 若 和 都有界说精良的揣测， 则 与 (在麇集 中而不在麇集 中的元素组成的麇集) 都有界说精良的揣测， 并且后者的揣测等于 的揣测减去 的揣测.

正如勒贝格所能阐明的， 这些条款独一细目了度量实数子集大小的款式. 为求出一个麇集 的揣测， 咱们界说 的一个隐敝 为开区间的纵情一个包含了 的可数并， 而该隐敝的长度则界说为这些开区间的长度之和.若 的揣测存在， 则它必定等于 的通盘隐敝之长度的下确界. 要是咱们沟通 的子集， 则这个区间上的有理数集 (它是可数多个揣测等于 0 的麇集的无交并) 的揣测等于 0， 而这个区间上的跋扈数集具有揣测 1. 纵情可数集必的揣测势必为 0. 那么 上的不可数集又怎样呢？

正如康托尔所标明的， 一个不可数集的揣测也可能为 0. 要是咱们从区间 启程， 去掉开区间 ， 就得到了一个揣测为 的麇集. 要是咱们不绝去掉剩下两个区间中间的三分之一， 即 和 ， 就能得到一个揣测为 的麇集. 比葫芦画瓢， 咱们在每一步去掉上一步剩下的各个区间中间的三分之一. 在第 步以后， 咱们得到 个区间， 其总揣测是 (图 5.9). 麇集 惟恐称为康托尔尘 (Cantor dust)， 它由 中剩下的点组成. 被去掉的麇集是一些区间的可数并， 从而康托尔尘是可测的， 并且其揣测是

麇集 昭彰包含了通盘区间的端点， 即分母为 3 的幂的有理数. 也许会让你讶异的是， 中还包含不可数个其他点.

图 5.9　通夙昔掉中间的三分之一来构造康托尔集

对此， 最通俗的款式是选择 3 为底数， 或者 0 和 1 之间的实数的三进制暗意. 举例

这些区间的端点是有穷的三进制少许. 0 和 1 之间的每个实数都不错在十进制下暗意为一个无限少许， 并且这个暗意是独一的， 除了那些有限少许也不错暗意为以无限多个 9 松手的无限少许除外， 举例

以肖似的款式， 0 和 1 之间的每个实数都不错在三进制下暗意为一个无限少许 (其中只用到数字 )， 并且这个暗意是独一的， 除了那些有限少许也不错暗意为以无限多个 2 松手的无限少许除外， 举例

康托尔尘由单元区间去掉了区间 ， 然后是 和 ， 再接下来是 ， 以及 等之后剩下的点组成. 换言之， 咱们去掉了通盘其独一三进制暗意中在某个 1 之后有非零数字的数. 一个三进制暗意中只含有 0 和 2 的实数一定包含在康托尔尘中. 终点是， 康托尔尘中的一个元素是

这么的数有若干呢？昭彰在 与形如

的二进制暗意的数之间有逐一双应的干系.

然则， 单元区间上的每一个实数都有这么一个二进制暗意， 因此 的基数与单元区间 的基数不异大.

麇集 是不平直观的. 它是无处粘稠的: 每一个与 相交的开区间必定与咱们去掉的某个开区间有错乱. 它是不可数的. 并且它具有揣测 0.

一个无处粘稠的麇集不错具有正的揣测吗？复兴是敬佩的. 要是咱们不是去掉中间的三分之一区间， 而是去掉中间的五分之一区间， 那么每个开区间将仍然与其中之一有错乱， 但剩下的麇集的揣测是

通过考取更小的分数， 咱们不错使得剩下来的无处粘稠集的揣测与 1 纵情接近.

那么一个粘稠子集是否不错有揣测 0 呢？要是它是可数的， 比如说是有理数集， 那么复兴昭彰是敬佩的. 不外即便这个麇集不可数， 复兴也不错是敬佩的. 从康托尔集 启程， 将 的一个副本 (按比例削弱) 放到区间 中. 然后将 的另一个副本 (按比例削弱) 放到那 3 个被去掉的长度为 的区间中. 将 的另一个副本 (按比例削弱) 放到那 9 个被去掉的长度为 的区间中. 如斯下去， 直至无限. 由于每一个麇集的揣测为 0， 故通盘这些麇集的并集揣测为 0， 不外它在 中粘稠.

要而论之， 面孔 的一个无限子集的大小有三种款式:

一共会产生 8 种可能的组合， 其中只消两种不会出现， 即“可数”与“正揣测”联贯的两种组合.

种突出情况， 因此这五个子集不成都备是可测的. 除此除外， 通过施行他们的论证， 不错阐明纵情立体体式不错差别为有限多个子块， 并用刚体畅通重组为其他立体体式. 这个结果的一个宜东说念主的阐明可见瓦普纳 (Wapner) 的 [70]， 书名《豌豆和太阳》(The Pea and the Sun) 的含义在于， 要是咱们接管采纳公理， 那么表面上有可能将一粒豌豆 (pea) 分割成有限多块， 然后利用刚体畅通将它们重组为太阳 (sun) 大小的球体.

就像连气儿统假设不异， 咱们不错采纳接管或拒却采纳公理， 而不影响咱们对实数所知的其他一切， 包括咱们是否采纳接管连气儿统假设. 实数集的确是超出了你的瞎想.

《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

作家：邓纳姆

译者：李伯民 汪军 张怀勇

本书荣获“第七届文津史籍奖保举书目”。

这不是一册数学家的列传，而是一座展示微积分宏伟画卷的摆设室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，凤凰彩票welcome到伽玛函数的暗意，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个期间的研究前沿，于今还明慧着戒备夺操办光线。